Potenciación

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.
Se escribe aⁿ, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural, equivale amultiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,$

Por ejemplo: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

$a^{-p}= \frac{1}{a^p}$

cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 0⁰que, en principio, es una indefinición (ver cero).
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Propiedades de la potenciación

Potencia de exponente 0

Cualquier número $a \in\mathbb{R}\,$ elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1

$a^0 = 1\,$

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

$a^1 = a \,$

ejemplo:

$54^1=54 \,$

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

ejemplos:

$9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5$

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la base a y elevada a la resta de los exponentes respectivos.

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$

ejemplo:

$\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2$

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

$(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n$ Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base aelevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$\Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n}$

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta

Propiedades que no cumple la potenciación
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

no cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.
En general:

$a^b \neq b^a$ $(a + b)^m \neq a^m + b^m$

$(a - b)^m \neq a^m - b^m$

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}$

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones hacia la izquierda o hacia la derecha como indica el exponente. Con un exponente positivo se desplaza hacia la izquierda y con un exponente negativo se desplaza hacia la derecha.
Ejemplos:

$10^{-5}=0,00001 \,$